Вектор напряженности электрического поля

Взаимодействие зарядов передается без участия вещества

Заряды будут притягиваться и отталкиваться не только в воздухе, но, даже в безвоздушном пространстве. В этом легко убедиться, если поместить заряженный электроскоп под колокол и откачать из-под колокола воздух. Полоски бумаги, имеющие одинаковые заряды, все так же, продолжат отталкиваться, независимо от того, в воздухе ли они находятся, либо в безвоздушном пространстве.

Рис. 2. Для передачи взаимного действия зарядов вещество не нужно, так как это взаимодействие передается не через вещество

Это значит, что передача взаимодействия зарядов происходит не через вещество.

Ученые из Англии – Майкл Фарадей и Джеймс Максвелл, долгое время изучали электрические заряды. Они выяснили, что заряды окружены особым видом материи, которую они назвали электрическим полем.

«Материальные уравнения»

Для решения многих практических задач вполне достаточна ограниченная точность. С помощью «материальных» уравнений выполняют расчеты различных электрических цепей.

Уместный пример – закон Ома. Он был создан в ходе измерения электрических параметров. В начальном виде формула (Х=П/L+B) состояла из следующих компонентов:

Х – показания измерительного устройства (гальванометра), включенного в разрыв электрической цепи;
П – параметры источника питания, заставляющие стрелку прибора отклоняться на определенный угол;
L – длина соединительных проводов;
B – общие свойства установки.

Несложно догадаться, что в современном представлении это известный закон, показывающий взаимное влияние основных параметров полной электрической цепи:

I = E/R+r,

где:

I – ток;
E – ЭДС (напряжение);
R и r – сопротивление подключенных компонентов и самого источника питания, соответственно.

Силовые линии электрического поля.

Электрическое поле в пространстве принято представлять силовыми линиями. Понятие о силовых линиях ввел М. Фарадей при исследовании магнетизма. Затем это понятие было развито Дж. Максвеллом в исследованиях по электромагнетизму.

Силовая линия, или линия напряженности электрического поля, — это линия, касательная к которой и каждой ее точке совпадает с направлением силы, действующей на положительный точечный заряд, находящийся в этой точке поля.

На рисунках ниже изображены линии напряженности положительно заряженного шарика (рис. 1); двух разноименно заряженных шариков (рис. 2); двух одноименно заряженных шариков (рис. 3) и двух пластин, заряженных разными по знаку, но одинаковыми по абсолютной величине зарядами (рис. 4).

Линии напряженности на последнем рисунке почти параллельны в пространстве между пластинами, и плотность их одинакова. Это говорит о том, что поле в этой области пространства однородно. Однородным называется электрическое поле, напряженность которого одинакова во всех точках пространства.

В электростатическом поле силовые линии не замкнуты, они всегда начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных зарядах. Они нигде не пересекаются, пересечение силовых линий говорило бы о неопределенности направления напряженности поля в точке пересечения. Плотность силовых линий больше вблизи заряженных тел, где напряженность поля больше.

Формула расчета

Утверждение можно записать в векторной форме. Тогда уравнение будет являться скалярным произведением двух векторов:

\(\Phi _{E}=\left(\vec{E},\vec{S} \right)\)

Где вектор \(\vec{S}\) равен:

\(\vec{S}=\vec{n}S\)

Таким образом, поток вектора \(\vec{E}\) является скалярной величиной, которая в зависимости от угла α может обладать положительным или отрицательным значением. Утверждения можно представить схематично.

На первом изображении поверхность А1 расположена вокруг положительного заряда, поток направлен наружу, то есть:

\(\Phi _{E}>0\)

Поверхность А2 окружает отрицательный заряд, поток направлен внутрь, то есть:

\(\Phi _{E}<0\)

Общий поток А обладает нулевым значением.

На втором рисунке при условии отличия суммарного заряда внутри поверхности от нуля, поток также не равен нулю. В данной системе поток через поверхность А характеризуется отрицательной величиной. Таким образом, поток вектора напряженности связан с зарядом. В этом заключается смысл теоремы Островского-Гаусса.

Задачи на теорему Гаусса с решением

Если вам нужно сначала освежить теоретические знания, читайте подробную теорию по теореме Гаусса в нашем справочнике. Ну а перед решением задач не забудьте повторить памятку и на всякий случай держите под рукой полезные формулы.

Кстати, при решении задач на теорему Гаусса придется довольно часто брать интегралы. Хотите научиться делать это по-быстрому? У нас уже есть отдельная статья и видео на эту тему.

Задача на теорему Гаусса №1: напряженность поля плоскости

Условие

Определите напряженность поля бесконечной заряженной плоскости. Поверхностная плотность заряда сигма.

Решение

Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены в обе стороны от неё. Выберем в качестве гауссовой поверхности цилиндр с основанием, параллельным плоскости:

По теореме Гаусса:

Поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь боковую поверхность цилиндра и потокам сквозь оба его основания. Поток сквозь боковую поверхность равен нулю, так как линии напряженности параллельны ей:

Согласно теореме Гаусса:

Отсюда:

Ответ: см. выше.

Задача на теорему Гаусса №2: напряженность поля двух пластин

Условие

Электрическое поле создано двумя параллельными заряженными тонкими пластинами с поверхностными плотностями заряда + сигма и -2 сигма. Площадь каждой пластины S, расстояние между пластинами d можно считать значительно меньшим их продольных размеров. Какова напряженность электрического поля, созданного этими пластинами?

Решение

Для электрического поля действует принцип суперпозиции: результирующее поле равно векторной сумме отдельных полей каждой пластины. Из предыдущей задачи мы знаем формулу, по которой вычисляется напряженность поля тонкой заряженной пластины, запишем для каждой из них:

Векторы напряженности между пластинами совпадают по направлению, результирующая напряженность равна:

Справа и слева от пластин, во внешней области, векторы направлены в разные стороны:

Для наглядности приведем рисунок:

Ответ: см. выше.

Задача на теорему Гаусса №3: напряженность электрического поля бесконечной нити

Условие

Определить напряженность электрического поля, создаваемую бесконечной тонкой нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью заряда лямбда.

Решение

Напряженность будем искать при помощи теоремы Гаусса. Наша задача – определить зависимость напряженности от расстояния от нити. В качестве поверхности выберем цилиндр с боковыми стенками, параллельными нити. Будем учитывать только поток вектора напряженности через боковую поверхность, так как поток через основания цилиндра равен нулю:

Заряд нити внутри рассматриваемой поверхности равен заряду отрезка нити длиной l:

По теореме Гаусса:

Отсюда:

Ответ: см. выше.

Задача с применением теоремы Гаусса №4

Условие

Электрическое поле создано бесконечной заряженной прямой линией с равномерно распределённым зарядом (τ = 10 нКл/м). Определить кинетическую энергию Т2 электрона в точке 2, если в точке 1 его кинетическая энергия Т1 = 200 эВ. Расстояние точки 2 от линии равно а = 0,5 см, точки 1 – b=1,5 см.

Решение

Ранее рассмотренные задачи были примерами вычисления полей с помощью теоремы Гаусса. Теперь рассмотрим задачу, которая решается сиспользованием этой информации. Из предыдущей задачи возьмем выражение для напряженности поля заряженной нити:

Разность потенциалов поля в двух точках будет равна:

При прохождении этой разницы потенциалов электрон приобретёт кинетическую энергию:

Конечная энергия частицы будет равна:

Получим:

Ответ: 397.6 эВ.

Задача на теорему Гаусса №5: поток электрического поля

Условие

Два точечных заряда q и –q расположены на расстоянии 2l друг от друга. Найти поток вектора напряженности через круг радиуса R. Плоскость круга проходит через его середину и перпендикулярна отрезку прямой, соединяющей заряды.

Решение

Рассмотрим элементарный поток результирующего электрического поля через бесконечно малую кольцевую зону круга:

В записи потока учтено, что вектор напряженности перпендикулярен поверхности круга. Выразим напряженность электрического поля через «ро», используя подобие треугольников, показанных на рисунке:

Вычисление потока сводится к взятию интеграла:

Ответ: см. выше.

Примеры применения теоремы Гаусса можно найти не только в электростатике, но и в других областях физики.

Напряжённость электрического поля в классической электродинамике

Для лучшего понимания темы необходимо напомнить несколько базовых определений. Существуют отрицательные и положительные электрические заряды. Каждый из них не зависит от системы координат, что подразумевает отсутствие влияния скорости. В изолированном объеме сумма зарядов не изменяется. Базовой величиной считают Кулон, который соответствует прохождению тока через единичную площадь сечения проводника за одну секунду.

Электрическое поле:

создается зарядами;
распространяется со скоростью света;
не ограничено в свободном пространстве.

Описывает напряженность электрического поля формула с векторными составляющими:

E=F/q0,

где:

E – это вектор напряженности, который зависит от координат в пространстве по осям Х, Y, Z и времени;
F – сила, оказывающая воздействие на единичный точечный заряд q0.

Вместе с вектором магнитной индукции напряженность (Е) формирует электромагнитное поле. Суммарное воздействие сил образует тензор. Вместе с зарядом это главные параметры электродинамики.

Заключение

Электрический потенциал в любой точке пространства определяется как электростатическая потенциальная энергия единицы заряда. Разность потенциалов между двумя точками определяется взятой с обратным знаком работой, которая совершается полем при перемещении единичного электрического заряда между этими точками. Разность потенциалов измеряется в вольтах (1 В = 1 Дж/Кл) и иногда называется напряжением. Изменение
потенциальной энергии заряда q при прохождении им разности потенциалов V_bа равно ΔU = qV_ba.
Разность потенциалов V_bа между точками b и a в однородном электрическом поле напряженностью Е определяется формулой V = — Ed, где d — расстояние вдоль силовой линии поля между этими точками.
В неоднородном электрическом поле Е соответствующее выражение имеет вид .
Таким образом, зная Е, всегда можно определить V_bа. Если значение V известно, то составляющие
напряженности поля Е можно найти, обращая приведенное соотношение:

Е_x = -dV/dх , Е_y = -dV/dу , E_z = -dV/dz .

Эквипотенциальные линии или поверхности представляют собой геометрическое место точек одного потенциала; они всюду перпендикулярны силовым линиям поля. Электрический потенциал уединенного точечного заряда Q относительно нулевого потенциала (на бесконечности) равен:

Потенциал произвольного распределения зарядов можно определить, суммируя (интегрируя) потенциалы отдельных зарядов.

где r — расстояние от элемента заряда dq до точки, в которой определяется V.

Продолжение следует. Коротко о следующей публикации:Электрическая емкость, диэлектрики, накопление электрической энергии.Конденсатор — устройство для накопления электрического заряда, который состоит из двух проводников (обкладок), расположенных близко друг к другу, но не соприкасающихся.

Альтернативные статьи: Постоянный ток, Переменный ток.

Замечания и предложения принимаются и приветствуются!