Определение механического резонанса: амплитуда, период, частота колебаний

Как работает контур колебаний

Работа контура колебаний основана на циклическом преобразовании энергии индуктивности в качественный показатель эффективности конденсатора и наоборот. Допустим, что конденсатор полностью заряжен и энергия, запасенная в нем, максимальна. При подключении его к катушке индуктивности, он начинает разряжаться. При этом, через индуктивность начинает протекать ток, вызывающий появление ЭДС самоиндукции, направленную на уменьшение протекающего тока. Это означает, что начинается процесс перезарядки конденсатора. В тот момент, когда энергия прибора становится равной нулю, та же величина для катушки максимальна.

Далее, энергия индуктивности снижается, расходуясь на заряд емкости с противоположной полярностью. После уменьшения показателя коэффициента самоиндукции до нуля, на конденсаторе она опять имеет максимальное значение.

Вам это будет интересно Особенности системы уравнения

Процессы в системе

Важно! В идеальном случае, данный процесс способен протекать бесконечно. В реальных устройствах колебание затухает со скоростью, пропорциональной потерям в цепи проводников

Вне зависимости от величины энергии, наличия потерь, частота колебаний постоянна и зависит только от значений параметров коэффициента самоиндукции и емкости. Данная величина называется резонансной. Формула резонанса учитывает значение величины емкости и индуктивности контура колебаний.

Осциллограмма

При воздействии на электрическую цепь с катушкой внешним сигналом с частотой, равной резонансной, амплитуда изменения положения частиц резко возрастает. Резонанс отсутствует при несовпадении частот. Из-за предельных значений электрическую цепь с катушкой индуктивности часто называют резонансной.

Потери в цепи с катушкой индуктивности (потери в диэлектрике конденсатора, сопротивление самого устройства, соединительных проводов) ограничивают величину предельных изменений направления частиц. В следствие этого, введена характеристика электроцепи, именуемая добротностью. Добротность обратно пропорциональна предельной величине потерь.

Зависимость предельной частоты от добротности

Важно! Снижение добротности приводит к тому, что предел изменения направлений наступает не только на основной частоте, но и на некотором приближении к ней, то есть, в некоторой полосе частот, где резонансное значение находится посередине. Чем выше добротность, тем более узкой становится полоса частот

Амплитуда колебаний — определение, характеристика и формулы

Амплитуда колебаний – это максимальное значение отклонения от нулевой точки. В физике данный процесс анализируется в разных разделах.

Он изучается при механических, звуковых и электромагнитных колебаниях. В перечисленных случаях амплитуда измеряется по-разному и по своим законам.

Амплитуда колебаний

Амплитудой колебания называют максимальную отдаленную точку нахождения тела от положения равновесия. В физике она обозначается буквой А и измеряется в метрах.

За амплитудой можно наблюдать на простом примере пружинного маятника.

В идеальном случае, когда игнорируется сопротивление воздушного пространства и трение пружинного устройства, устройство будет колебаться бесконечно. Описание движения выполняется с помощью функций cos и sin:
x(t) = A * cos(ωt + φ0) или x(t) = A * sin(ωt + φ0),
где

величина А – это амплитуда свободных движений груза на пружине;
(ωt + φ0) – это фаза свободных колебаний, где ω — это циклическая частота, а φ0 – это начальная фаза, когда t = 0.

В физике указанную формулу называют уравнением гармонических колебаний. Данное уравнение полностью раскрывает процесс, где маятник движется с определенной амплитудой, периодом и частотой.

Период колебаний

Результаты лабораторных опытов показывают, что циклический период движения груза на пружине напрямую зависит от массы маятника и жесткости пружины, но не зависит от амплитуды движения.
В физике период обозначают буквой Т и описывают формулами:

Исходя из формул, период колебаний – это механические движения, повторяющиеся через определенный промежуток времени. Простыми словами периодом называют одно полное движение груза.

Частота колебаний

Под частотой колебаний следует понимать количество повторений движения маятника или прохождения волны. В разных разделах физики частота обозначается буквами ν, f или F.

Данная величина описывается выражением:
v = n/t – количество колебаний за промежуток времени,
где

n – это единица колебаний;
t – отрезок времени.

В Международной системе измерений частоту измеряют в Гц (Герцах). Она относится к точным измеряемым составляющим колебательного процесса.

Например, наукой установлена частота вращения Солнца вокруг центра Вселенной. Она равна -1035 Гц при одинаковой скорости.

Циклическая частота

В физике циклическая и круговая частота имеют одинаковое значение. Данная величина еще называется угловой частотой.

Обозначают ее буквой омега. Она равна числу собственных колебательных движений тела за 2π секунд времени:
ω = 2π/T = 2πν.

Данная величина нашла свое применение в радиотехнике и, исходя из математического расчета, имеет скалярную характеристику. Ее измерения проводят в радианах на секунду. С ее помощью значительно упрощаются расчеты процессов в радиотехнике.

Например, резонансное значение угловой частоты колебательного контура рассчитывают по формуле:
WLC = 1/LC.
Тогда как обычная циклическая резонансная частота выражается:
VLC = 1/2π*√ LC.

В электрике под угловой частотой следует понимать число полных трансформаций ЭДС или число оборотов радиуса – вектора. Здесь ее обозначают буквой f.

Для определения на графике составляющих колебательного механического процесса или, например, колебания температуры, нужно разобраться в терминах этого процесса.

К ним относят:

расстояние испытываемого объекта от исходной точки – называют смещением и обозначают х;
наибольшее отклонение – амплитуда смещения А;
фаза колебания – определяет состояние колебательной системы в любой момент времени;
начальная фаза колебательного процесса – когда t = 0, то φ = φ0.

Из графика видно, что значение синуса и косинуса может меняться от -1 до +1. Значит, смещение х может быть равно –А и +А. Движение от –А до +А называют полным колебанием.

Построенный график четко показывает период и частоту колебаний. Стоить отметить, что фаза не воздействует на форму кривой, а только влияет на ее положение в заданный промежуток времени.

Кварцевые резонаторы и электромеханические фильтры

Это наиболее распространённые резонаторы, включающие в себя кристаллы кварца. Кристалл вырезается в форме параллелепипеда. На полученную пластину в вакууме напыляют электроды. Способы колебаний такого элемента зависят от следующих позиций:

вида пластины из кварца;
конструктивного исполнения электродов;
метода присоединения электродов.

На величину собственной частоты кварцевого резонатора влияют: форма, размеры, модуль упругости и плотность пьезоэлектрического элемента, а также особенности крепления детали.

Простейшая конструкция кварцевого резонатора

Электромеханические фильтры (ЭМФ) выполняют ступенчатое преобразование. На первой ступени происходит превращение электрических пульсаций в колебания механической природы. Вторая ступень их фильтрует, третья – снова возвращает в электрическую форму.

Внимание! Вторая ступень – это механический резонатор, он работает как фильтр. Изготавливается из ферритов с магнитострикционными свойствами, кварца, сплавов железа с никелем, пьезокерамических элементов и иных компонентов. Блок-схема ЭМФ

Блок-схема ЭМФ

Использование резонанса напряжений для передачи радиосигнала

Колебательный контур этого типа создают из последовательной комбинации трех базовых компонентов: резистор, конденсатор, индуктивность. Подходящим для резонанса условием является нулевое сопротивление цепи (комплексное). Для решения такой задачи следует изучить основные формулы.

Комплексное сопротивление Rк=R+j(wL-1/wC). Постоянный резистор (R) не зависит от частоты (w). Значит, придется оперировать с индукционными и емкостными элементами. Резонансный эффект получают при (wL-1/wC)=0. Для вычисления необходимых значений пользуются следующими расчетами:

Lп=1/w2*C;
Сп=1/w2*L;
Wп=1/√L*C.

Из приведенных данных понятно, что корректировать можно любой из параметров при одновременном сохранении двух других. В практической схемотехнике удобнее работать с частотой, поэтому рассмотрим подробнее применение такого варианта.

Последовательный контур с графиками

На рисунках показаны условия возникновения резонанса напряжений. В точке, обозначенной w0, наблюдается равенство индуктивной и емкостной составляющих на определенной частоте. Небольшой сдвиг влево по оси обусловлен резистивным компонентом цепи.

Напряжение на конденсаторе (Uc) при частоте резонанса (W0) равно волновому сопротивлению колебательного контура (p=√L/C). Аналогичная разница потенциалов будет на клеммах катушки при частоте W0. Данная особенность объясняет особое название процесса – «резонанс напряжений». Также в электротехнических расчетах применяют следующие определения:

Добротность – Q=p/R;
Затухание – 1/Q.

Отмеченные свойства используют в радиоприемной и передающей аппаратуре. Выделение контуром определенного диапазона позволяет выполнять настройку станции на определенную частоту с определенной параметрами цепи погрешностью. Для контроля избирательности оценивают амплитуду сигнала относительно резонансной частоты. Уровень отклонения на 3 дБ в обе стороны (0,7 от максимума) называют полосой пропускания.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) и полоса пропускания

Где применяется резонанс, как он используется в технике

Механический резонанс используется в акустике для анализа звуков и при их усилении. В сооружениях и устройствах, которые подвергаются периодически изменяющимся нагрузкам, резонанс весьма опасен, ведь он способен вызвать их разрушение вследствие значительного возрастания амплитуды колебаний.

Так, например, подвижные элементы двигателя внутреннего сгорания по типу шатунов действуют на валы с периодически изменяющимися силовыми нагрузками. Их период неразрывно связан с угловой скоростью вращения валов. Они вызывают колебательные движения коленчатого вала и при скорости вращения, которая соответствует резонансу, могут привести вал в негодность.

Важно! Учитывать механическое резонирование важно еще и в электронной аппаратуре, так как она часто подвергается вибрациям и ударам. В технических моментах резонирование играет как положительные, так и отрицательные роли, то есть оно может как навредить, так и создать прибор

Например, явление механического резонирования используется в технических приборах типа частотомеров для подсчета частоты колебаний. В них элементом чувствительности предстает резонатор, собственная частота которого легко изменяется. Положительные стороны резонанс дает и в акустике, оптике или радиотехнике

В технических моментах резонирование играет как положительные, так и отрицательные роли, то есть оно может как навредить, так и создать прибор. Например, явление механического резонирования используется в технических приборах типа частотомеров для подсчета частоты колебаний. В них элементом чувствительности предстает резонатор, собственная частота которого легко изменяется. Положительные стороны резонанс дает и в акустике, оптике или радиотехнике.

Таким образом, эффект резонирования присущ огромному количеству объектов планеты. Вне зависимости от его определения, он всегда означает одно и то же: система, на которую производят воздействие, повышает свою амплитуду. Определять резонирование можно огромным количеством методов. Все они зависят от вида и природы взаимодействий.

Колебания и частота

Процедура, связанная с изменением положения системы рядом с точкой равновесного состояния и повторяющаяся с течением времени, называется колебаниями. Качающийся маятник повторяет свои движения относительно нормали к горизонтальной плоскости. При этом, если не прикладывать к его движению дополнительной энергии, его раскачивания затухнут.

Явление таких изменений можно классифицировать по следующим параметрам:

по математической модели, используемой в колебаниях;
по структуре периодичности;
по природе физических свойств;
по виду взаимодействия с окружающими условиями.

Внимание! Все колебания, независимо от своих физических свойств, имеют общие законы, которые можно описать волновыми явлениями. Эти закономерности исследует теория волновых колебаний

Механические колебания связаны с трансформацией одной формы энергии в другую, волновые – с пространственным передвижением и распространением энергии.

Общими параметрами для всех колебаний являются:

частота;
период;
амплитуда.

Период (T) являет собой время целого (полного) колебания, во время которого можно зафиксировать повторение любой из характеристик состояния системы. Это значит, что она совершила полное колебание. Обозначение периода – Т, единица измерения – секунда (с).

Наибольшее отклонение точки тела или любой величины системы от равновесного положения называется амплитудой колебаний и обозначается буквой A. Единицей измерения являются те величины, изменения которых рассматриваются. При механических отклонениях амплитуду измеряют в метрах (м), амплитуду переменного напряжения – в вольтах (В) и так далее.

Период и частота механических колебаний

ωрез = √(ω02 – 2ß2).

В данной формуле:

ωрез – частота резонанса;
ω0 – круговая частота;
ß – коэффициент затухания.

Когда коэффициент затухания повышается, то явление резонирования снижается.

Приложения

Существуют различные методы создания механического резонанса в среде. Механические волны могут генерироваться в среде, подвергая электромеханический элемент воздействию переменного электрического поля, частота которого вызывает механический резонанс и ниже любой частоты электрического резонанса. Такие устройства могут прикладывать механическую энергию от внешнего источника к элементу для механического воздействия на элемент или прикладывать механическую энергию, производимую элементом, к внешней нагрузке.

В Патентное ведомство США классифицирует устройства, проверяющие механический резонанс, в подкласс 579, резонанс, частота, или же амплитуда кабинет 73 класса, Измерение и тестирование. Этот подкласс находится под подклассом 570, Вибрация. Такие устройства проверяют изделие или механизм подвергая его воздействию вибрационной силы для определения его качеств, характеристик или условий, или ощущения, изучения или анализа вибраций, которые иным образом генерируются или существуют в изделии или механизме. Устройства включают в себя правильные методы для создания вибраций при естественном механическом резонансе и измерения частота и / или амплитуда резонанс сделан. Различные устройства изучают амплитудный отклик на Диапазон частот сделан. Это включает в себя узловые точки, длины волн, и стоячая волна характеристики, измеренные в заданных условиях вибрации.

Типы явления

В описании резонанса Г

Галилей как раз обратил внимание на самое существенное — на способность механической колебательной системы (тяжелого маятника) накапливать энергию, которая подводится от внешнего источника с определенной частотой. Проявления резонанса имеют определенные особенности в различных системах и поэтому выделяют разные его типы

Механический и акустический

Механический резонанс — это тенденция механической системы поглощать больше энергии, когда частота ее колебаний соответствует собственной частоте вибрации системы. Это может привести к сильным колебаниям движения и даже катастрофическому провалу в недостроенных конструкциях, включая мосты, здания, поезда и самолеты. При проектировании объектов инженеры должны обеспечить безопасность, чтобы механические резонансные частоты составных частей не соответствовали колебательным частотам двигателей или других осциллирующих частей во избежание явлений, известных как резонансное бедствие.

Электрический резонанс

Возникает в электрической цепи на определенной резонансной частоте, когда импеданс схемы минимален в последовательной цепи или максимум в параллельном контуре. Резонанс в схемах используется для передачи и приема беспроводной связи, такой как телевидение, сотовая или радиосвязь.

Оптический резонанс

Оптическая полость, также называемая оптическим резонатором, представляет собой особое расположение зеркал, которое образует резонатор стоячей волны для световых волн. Оптические полости являются основным компонентом лазеров, окружающих среду усиления и обеспечивающих обратную связь лазерного излучения. Они также используются в оптических параметрических генераторах и некоторых интерферометрах.

Свет, ограниченный в полости, многократно воспроизводит стоячие волны для определенных резонансных частот. Полученные паттерны стоячей волны называются «режимами». Продольные моды отличаются только частотой, в то время как поперечные различаются для разных частот и имеют разные рисунки интенсивности поперек сечения пучка. Кольцевые резонаторы и шепчущие галереи являются примерами оптических резонаторов, которые не образуют стоячих волн.

Орбитальные колебания

В космической механике возникает орбитальный отклик, когда два орбитальных тела оказывают регулярное, периодическое гравитационное влияние друг на друга. Обычно это происходит из-за того, что их орбитальные периоды связаны отношением двух небольших целых чисел. Орбитальные резонансы значительно усиливают взаимное гравитационное влияние тел. В большинстве случаев это приводит к нестабильному взаимодействию, в котором тела обмениваются импульсом и смещением, пока резонанс больше не существует.

При некоторых обстоятельствах резонансная система может быть устойчивой и самокорректирующей, чтобы тела оставались в резонансе. Примерами является резонанс 1: 2: 4 лун Юпитера Ганимед, Европа и Ио и резонанс 2: 3 между Плутоном и Нептуном. Неустойчивые резонансы с внутренними лунами Сатурна порождают щели в кольцах Сатурна. Частный случай резонанса 1: 1 (между телами с аналогичными орбитальными радиусами) заставляет крупные тела Солнечной системы очищать окрестности вокруг своих орбит, выталкивая почти все остальное вокруг них.

Атомный, частичный и молекулярный

Ядерный магнитный резонанс (ЯМР) — это имя, определяемое физическим резонансным явлением, связанным с наблюдением конкретных квантовомеханических магнитных свойств атомного ядра, если присутствует внешнее магнитное поле. Многие научные методы используют ЯМР-феномены для изучения молекулярной физики, кристаллов и некристаллических материалов. ЯМР также обычно используется в современных медицинских методах визуализации, таких как магнитно-резонансная томография (МРТ).

Механика

Чтобы избежать механического резонанса, устанавливаются две параллельные пружины с разной жёсткостью. В подвеске вагонной тележки использовано два комплекта пружин.

Школьный резонансный массовый эксперимент

Наиболее известная большинству людей механическая резонансная система — это обычные качели. Если подталкивать качели в определённые моменты времени в соответствии с их резонансной частотой, размах движения будет увеличиваться, в противном случае движения будут затухать. Резонансную частоту такого маятника с достаточной точностью в диапазоне малых смещений от равновесного состояния можно найти по формуле:

f=12πgL{\displaystyle f={1 \over 2\pi }{\sqrt {g \over L}}},

где g — это ускорение свободного падения (9,8 м/с² для поверхности Земли), а L — длина от точки подвешивания маятника до центра его масс

(Более точная формула довольно сложна и включает эллиптический интеграл.) Важно, что резонансная частота не зависит от массы маятника. Также важно, что раскачивать маятник нельзя на кратных частотах (высших гармониках), зато это можно делать на частотах, равных долям от основной (низших гармониках).. Резонансные явления могут приводить как к разрушению, так и к усилению устойчивости механических систем.

Резонансные явления могут приводить как к разрушению, так и к усилению устойчивости механических систем.

В основе работы механических резонаторов лежит преобразование потенциальной энергии в кинетическую и наоборот. В случае простого маятника, вся его энергия содержится в потенциальной форме, когда он неподвижен и находится в верхних точках траектории, а при прохождении нижней точки на максимальной скорости, она преобразуется в кинетическую. Потенциальная энергия пропорциональна массе маятника и высоте подъёма относительно нижней точки, кинетическая — массе и квадрату скорости в точке измерения.

Другие механические системы могут использовать запас потенциальной энергии в различных формах. Например, пружина запасает энергию сжатия, которая, фактически, является энергией связи её атомов.

Струна

Струны таких инструментов, как лютня, гитара, скрипка или пианино, имеют основную резонансную частоту, напрямую зависящую от длины, массы и силы натяжения струны. Длина волны первого резонанса струны равна её удвоенной длине. При этом, её частота зависит от скорости v, с которой волна распространяется по струне:

f=v2L{\displaystyle f={v \over 2L}}

где L — длина струны (в случае, если она закреплена с обоих концов). Скорость распространения волны по струне зависит от её натяжения T и массы на единицу длины ρ:

v=Tρ{\displaystyle v={\sqrt {T \over \rho }}}

Таким образом, частота главного резонанса может зависеть от свойств струны и выражается следующим отношением:

f=Tρ2L=TmL2L=T4mL{\displaystyle f={{\sqrt {T \over \rho }} \over 2L}={{\sqrt {T \over m/L}} \over 2L}={\sqrt {T \over 4mL}}},

где T — сила натяжения, ρ — масса единицы длины струны, а m — полная масса струны.

Увеличение натяжения струны и уменьшение её массы (толщины) и длины увеличивает её резонансную частоту. Помимо основного резонанса, струны также имеют резонансы на высших гармониках основной частоты f, например, 2f, 3f, 4f, и т. д. Если струне придать колебание коротким воздействием (щипком пальцев или ударом молоточка), струна начнёт колебания на всех частотах, присутствующих в воздействующем импульсе (теоретически, короткий импульс содержит все частоты). Однако частоты, не совпадающие с резонансными, быстро затухнут, и мы услышим только гармонические колебания, которые и воспринимаются как музыкальные ноты.

Типы явления

В описании резонанса Г

Механический и акустический

Электрический резонанс

Оптический резонанс

Орбитальные колебания

Атомный, частичный и молекулярный

В музыкальной композиции

Некоторые композиторы начали вносить резонанс в тему своих сочинений. Элвин Люсьер использовал акустические инструменты и генераторы синусоидальных волн для исследования резонанса больших и малых объектов во многих своих композициях. Комплекс нарушающие гармонии из зыби профилированного крещендо и decrescendo на Tamtam или других ударный инструмент взаимодействует с комнатными резонансами в Джеймса Тенний «s Коана: Наличие не написали записку для перкуссии . Полин Оливерос и Стюарт Демпстер регулярно выступают в больших реверберирующих пространствах, таких как цистерна объемом 2 миллиона галлонов США (7600 м 3 ) в Форт-Уордене, штат Вашингтон, которая имеет реверберацию с 45-секундным затуханием. « Терпсихорд » профессора музыкальной академии Мальмё и композитора Кента Олофссона , пьеса для ударных и предварительно записанных звуков, резонансы акустических инструментов формирования звуковых мостов к предварительно записанным электронным звукам, которые, в свою очередь, , продлить резонансы, преобразовав их в новые звуковые жесты ».

Резонансная частота

При подаче на два КК (параллельного и последовательного) переменного напряжения с изменяющейся частотой их реактивные сопротивления C и L будут меняться. Изменения происходят следующим образом:

с увеличением f – ёмкостное сопротивление уменьшается, а индуктивное увеличивается;
с уменьшением f – ёмкостное сопротивление увеличивается, а индуктивное уменьшается.

Частота, при которой реактивные сопротивления обоих элементов контура равны, называется резонансной.

Важно! При fрез сопротивление параллельного КК будет максимальным, а последовательного КК – минимальным. Резонансная частота формула, которой имеет вид:. Резонансная частота формула, которой имеет вид:

Резонансная частота формула, которой имеет вид:

fрез = 1/2π*√L*C,

где:

L – индуктивность, Гн;
C – ёмкость, Ф.

Подставляя известные значения ёмкости и индуктивности в формулу резонансной частоты колебательного контура любой конфигурации, можно рассчитать этот параметр.

Для определения периода колебаний КК и частоты резонанса можно воспользоваться онлайн калькулятором на соответствующем портале в сети. Профессиональная программа имеет несложный интерфейс.

Пример интерфейса онлайн калькулятора LC-контура